Эквивалентность квадратичных функций и форм

Пусть $f(x)$ - квадратичная форма с матрицей $B$. Тогда существует квадратичная функция $q(x)$ такая, что в некотором базисе: $$q(x) = [x]^{T}B[x]$$

Пусть $(V, \mathbb{F})$ - какое-то линейное конечномерное пространство. Тогда в некотором базисе существует такая функция $g(x, y)$, что: $$g(x, y) = [x]^{T}B[y] \implies q(x) = g(x, x) = [x]^{T}B[x]$$ $\square$

Пусть $(V, F)$ — конечномерное линейное пространство, $\dim V = n$, $e$ — базис $V$, $f(x)$ — квадратичная функция. Тогда существует симметричная матрица $B \in M_n(F)$, $B^\mathrm{T} = B$, такая что $$f(x) = [x]_e^\mathrm{T} B [x]_e$$

Поскольку $f$ — квадратичная функция, то по определению $f(x) = g(x, x)$, где $g$ - билинейная функция. Для $g$ в базисе $e$ существует матрица $C$ такая, что: $$g(x, y) = [x]_{e}^{T}C[y]_{e} \implies g(x, x) = [x]_{e}^{T}C[x]_{e}$$ Но тогда, если транспонировать число: $$g(x, x) = [g(x, x)]^{T} = ([x]_{e}^{T}C[x]_{e})^{T} = [x]_{e}^{T}C^{T}[x]_{e}$$ А значит: $$f(x) = \dfrac{g(x, x) + [g(x, x)]^{T}}{2} = [x]_{e}^{T} \dfrac{C + C^{T}}{2}[x]_{e}$$ Положим $B = \dfrac{C + C^{T}}{2}$, тогда $B$, действительно, симметрична. $\square$

Пусть $\operatorname{char} \mathbb{F} \neq 2$. Тогда квадратичная функция $q(x)$ однозначно определяет симметрическую билинейную функцию $f(x, y)$. Наоборот, симметрическая билинейная функция $f(x, y)$ однозначно определяет квадратичную функцию $q(x)$.

$\Large\implies$ В качестве $f(x, y)$ положим $f(x, y) = \dfrac{q(x + y) - q(x) - q(y)}{2}$. Нетрудно проверить, что эта функция является билинейной и симметрической. $\Large\impliedby$ По определению. $\square$